Математические войны: математики прошлого против Евклида
Более двух тысячелетий геометрическая система, построенная Евклидом в «Началах» (III век до н.э.), считалась единственной и непоколебимой.
Однако на протяжении долгого времени умы математиков всего мира беспокоил «Пятый постулат» евклидовой геометрии, касающийся параллельности прямых. Дело в том, что формулировка постулата разительно отличается от остальных своей сложностью и неопределенностью. Многие из нас еще со школьной скамьи помнят аксиому о параллельности: «На плоскости, через точку, взятую вне данной прямой, можно провести на более одной прямой, которая не пересекает данную, то есть параллельна ей». Это более понятный перевод. В своих «Началах» Евклид формулировал V постулат иначе: «Если при пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то эти прямые пересекаются и притом с той стороны, где эта сумма меньше 2d» (символом d в те времена обозначали величину прямого угла).
Впоследствии древнегреческий мыслитель разбил свой труд на две независимые части: абсолютную геометрию («геометрия без пятого постулата») и собственно евклидову геометрию («геометрия с пятым постулатом»). Чем же отличаются друг от друга эти части и как пятый постулат зависит от прочих постулатов и аксиом евклидовой геометрии?
Математики эллинской эпохи пытались вывести постулат о параллельности прямых посредством других аксиом евклидовой геометрии. Целью древних мыслителей и ученых Средних и Новых веков неизменно оставалось доказательство V постулата без введения вместо него никаких других допущений.
Множество виднейших математиков в течение двадцати веков пытались «заделать брешь в теории параллельных» (Лобачевский). Вот что писал о пятом постулате Прокл (410 – 485): Это положение должно быть совершенно изъято из числа постулатов, потому что это – теорема, вызывающая много сомнений».
Недостатком работы в этом направлении математиков прошлого состояло в том, что они уже на первом этапе пути шли по неверному пути: ученые начинали рассуждение методом от противного. кроме того, в те времена они еще недостаточно свободно могли оперировать бесконечно большими и бесконечно малыми величинами, а ведь с их помощью возможно доказать все, что угодно.
Более двух тысячелетий математики всего мира думали над проблемой пятого постулата евклидовой геометрии о параллельных линиях. Формулировка его слишком усложнена и неопределенна по сравнению с остальными постулатами: «Если при пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то эти прямые пересекаются и притом с той стороны, где эта сумма меньше 2d» (символом d в те времена обозначали величину прямого угла). Целью множества лучших ученых было доказательство V постулата без введения вместо него никаких других допущений.
Бернхард Риман (1826 – 1866) – великий немецкий математик, последователь Лобачевского – рассматривал геометрию как учение о непрерывных совокупностях любых однородных объектов (многообразиях). В своей лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» (Геттингенский университет, 1854 год) он включил в число аксиом предложение: «каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую». Следовательно, в геометрии Римана параллельных прямых не существует! Это положение действует, например, на сфере, где сумма углов сферического треугольника больше 180°. К сожалению, на тогда гипотеза Римана осталась незамеченной (несмотря на высокую оценку со стороны Карла Фридриха Гаусса, выдающегося немецкого математика). Текст лекции «О гипотезах...» был опубликован лишь после смерти автора, в 1868 году и произвел огромный резонанс в области математики.
Риман ввел понятие «римановы пространства» и развил теорию о них. Таким образом появилась третья геометрическая система – риманова геометрия. Если говорить о римановой геометрии, то ее можно определить как многомерное обобщение геометрии на поверхности (то есть геометрии двухмерного пространства). Она изучает свойства многомерных пространств, в малых областях которых имеет место евклидова геометрия. При этом все пространство может не быть евклидовым.
Более двух тысячелетий математики всего мира думали над проблемой пятого постулата евклидовой геометрии о параллельных линиях. Формулировка его слишком усложнена и неопределенна по сравнению с остальными постулатами: «Если при пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то эти прямые пересекаются и притом с той стороны, где эта сумма меньше 2d» (символом d в те времена обозначали величину прямого угла). Целью множества лучших ученых было доказательство V постулата без введения вместо него никаких других допущений.
Как известно, первым математиком, решившим эту нелегкую задачу, стал наш знаменитый ученый Н. И. Лобачевский. Один из его предшественников, член Британской Академии наук, астроном, математик и философ Иоганн Генрих Ламберт (1728 – 1777) также занимался теорией параллельности. Свои выводы, сходные с заключениями Саккери, он изложил в сочинении «Теория параллельных линий» (середина XVIII века). В этой работе Ламберт указывает, что гипотеза острого угла имеет место «на какой-то мнимой сфере». Это предположение подтвердится через сотню лет в учении Бернхарда Римана. В результате своих многолетних исследований Ламберт пришел к выводу о том, что доказать V постулат Евклида невозможно.
Другой математик, француз Адриен Мари Лежандр (1752 – 1833) – автор курса элементарной геометрии – написал работу «Начала геометрии» и обширную статью, помещенную в «Мемуарах Парижской академии». Там он показывает, что теорема о сумме внутренних углов прямоугольного треугольника эквивалентна пятому постулату Евклида.
Немецкий юрист и математик, профессор Харьковского университета Ф. К. Швейкарт (1780 – 1857) совершенно независимо от других ученых пришел к выводу, что кроме евклидовой геометрии возможна и другая, он назвал ее «астральной» геометрией. В ней сумма углов треугольника меньше двух прямых углов. Тогда эти предположения не были опубликованы, а некоторое время спустя мир потрясла новая геометрическая система – геометрия Лобачевского...
Незыблемость евклидовой геометрии казалась неоспоримой...до начала XIX века. Наш великий ученый, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792 – 1856) совершил «чудо»: он доказал, что существует возможность совершенно другого логического обоснования и построения геометрии.
Построение евклидовой геометрии было осуществлено в «Началах» («Пятый постулат», III век до н.э.) - главном труде древнегреческого математика. Теоретические и практические знания основывались на наглядных представлениях об окружающем мире. Например, прямые линии сравнивались с натянутыми линиями.
Более двух тысяч лет прошло прежде, чем удалось наконец совершить коренной переворот в представлениях о природе пространства. Неевклидова геометрия Лобачевского была построена в 1826 году, опубликована – в 1829 – 1830 годах.
Основы двух теорий, почти все определения и аксиомы, ряд теорем об углах и треугольниках совпадают. Однако ученые расходятся в формулировке постулата о параллельности прямых. Евклидова аксиома гласит: на плоскости, через точку, взятую вне данной прямой, можно провести на более одной прямой, которая не пересекает данную, то есть параллельна ей. Лобачевский утверждает другое: на плоскости, через точку, взятую вне данной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, которые не пересекают данную, то есть параллельны ей. Из-за этого расхождения геометрии и начинают отличаться друг от друга в тех случаях, когда приходится применять одну из двух аксиом параллельности.
Пятый постулат Евклида резко отличался от других сложностью формулировки. Эта проблема волновала многих математиков на протяжении двадцати веков. Постулат о параллельности сформулирован Евклидом следующим образом: «Если при пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то эти прямые пересекаются и притом с той стороны, где эта сумма меньше 2d» (символом d в те времена обозначали величину прямого угла). Позднее «Начала» были разделены на два самостоятельных блока: «Геометрия с V постулатом» и «Геометрия без V постулата». К первой относится собственно евклидова геометрия, ко второй – абсолютная геометрия (ее доказательства не опираются на аксиому параллельности и на предложения, доказанные с ее помощью). Исходя из всего этого и возникает вопрос, зависит ли V постулат от остальных постулатов Евклида?
Лобачевскому первым удалось понять, что V постулат является лишь новым независимым допущением. Аксиома параллельности не вытекает из остальных положений. Следовательно, мы можем ее или принимать, или опровергать. В первом случае мы получаем классическую евклидову геометрию, а во втором – новую, «воображаемую» геометрию Лобачевского, логически абсолютно равноправную с геометрией древнего математика.
Есть и другие отличия между двумя геометриями: сумма углов треугольника, по Лобачевскому, меньше двух прямых, а два подобных треугольника всегда равны. Хотя эти положения и кажутся парадоксальными на первый взгляд, геометрия Лобачевского так же безупречна с точки зрения логики, как и евклидова. В настоящее время предполагается, что «новая» геометрия действует за пределами нашей планеты. Например, вблизи черных дыр, где наблюдается искажение пространства и времени.
Более двух тысячелетий математики всего мира думали над проблемой пятого постулата евклидовой геометрии о параллельных линиях. Формулировка его слишком усложнена и неопределенна по сравнению с остальными постулатами: «Если при пересечении двух прямых, расположенных в одной плоскости, третьей сумма внутренних односторонних углов не равна 2d, то эти прямые пересекаются и притом с той стороны, где эта сумма меньше 2d» (символом d в те времена обозначали величину прямого угла). Целью множества лучших ученых было доказательство V постулата без введения вместо него никаких других допущений.
Джон Валлис (1616 – 1703) – английский математик, профессор Оксфордского университета, один из основателей Лондонского королевского общества – действовал исходя из следующего положения: «Для каждой фигуры всегда существует подобная ей фигура произвольной величины». Используя эту аксиому, Валлис «доказал» пятый постулат. В действительности же постулат Евклида и аксиома Валлиса эквивалентны друг другу. Поэтому в геометрической системе Лобачевского не существует подобных треугольников.
Итальянский математик, преподаватель грамматики в иезуитской коллегии в Милане Джироламо Саккери (1667 – 1733) продолжил попытки доказать пятый постулат Евклида. Он начал всерьез заниматься математикой в Милане, под влиянием Джованни Чевы (1648 – 1734). «Евклид, очищенный от пятен» - труд Саккери 1733 года, в котором ученый так и не смог довести доказательство V постулата до намеченной цели.
Саккери независимым способом доказывает, что сумма углов треугольника не может превышать 180°. Если постулат о параллельных прямых верен, то эта сумма составит 180°; при опровержении постулата сумма будет меньше 180°. С помощью «гипотезы острого угла» (сумма углов треугольника меньше 180°) ученый доказывает, что две непересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, либо бесконечно удаляются друг от друга в одну сторону и неограниченно сближаются в другую сторону, либо имеют общий перпендикуляр, от которого они расходятся, бесконечно удаляясь друг от друга в обе стороны. Он также доказывает, что при «гипотезе острого угла» перпендикуляр к одной стороне острого угла сначала пересекает вторую сторону, а затем, по мере удаления от вершины, перестает ее пересекать. При этом существует предельный – первый непересекающий перпендикуляр. Математик приходит к выводу: «Гипотеза острого угла совершенно ложна, ибо противоречит природе прямой линии». Это говорит о неверном обращении с бесконечно удаленными точками.
Однако Саккери утверждает: «На этом я мог бы спокойно остановиться; но я не хочу отказаться от попытки доказать, что эта упорная гипотеза острого угла, которую я вырвал уже с корнем, противоречит самой себе...» Последующие выводы ученого совпадают с первыми предложениями геометрии Лобачевского.
Джироламо Саккери внес большой вклад в решение проблемы пятого постулата, установив неразрывную связь теории параллельных линий с вопросом о сумме углов треугольника. Три возникающих гипотезы привели к появлению трех возможных геометрических систем:геометрии Евклида, геометрии Римана и геометрии Лобачевского.
